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       前面已經(jīng)討論了以孤立系統(tǒng)所組成的微正則系綜。微正則系綜是統(tǒng)計力學整個體系的基礎，因此十分重要，但是微正則系綜在實際應用時并不十分方便，因為實際情況中大部分為封閉系統(tǒng)或者開放系統(tǒng)。為此需要從微正則系綜出發(fā)，導出更方便于實際應用的系綜分布。這里將討論適用于封閉系統(tǒng)的正則分布系綜。

       已知封閉系統(tǒng)是與環(huán)境只進行能量交換而無微觀粒子交換的系統(tǒng)。而以封閉系統(tǒng)組成的系綜稱之為正則系綜。
       正則系綜內(nèi)每一系統(tǒng)都被設想與一個熱源接觸，熱源可與系綜交換能量并保持著溫度不變，但熱源與系綜之間不能交換物質。達到平衡后熱源與系統(tǒng)將具有相同的溫度。因而組成正則系綜的每個系統(tǒng)，均具有恒定的體積V、粒子數(shù)N和溫度T。這些就是進行正則系綜討論的宏觀條件。而對正則分布的討論就是要確定在N、V、T恒定的系統(tǒng)處于平衡態(tài)時能級E_s的微觀態(tài)S的分布函數(shù)ρs。
       如果將正則系綜中的系統(tǒng)和熱源合起來就成為一個復合系統(tǒng)，這個復合系統(tǒng)有以下特點：其一這個復合系統(tǒng)應是一個孤立系統(tǒng)，具有確定的能量。其二是在這個孤立系統(tǒng)中系統(tǒng)所具有的能量E與熱源所具有的能量E_r相比，應該是很小的，即有下列關系，E＜＜E_r。
       假設復合系統(tǒng)的總能量為E₍₀₎，如果忽略系統(tǒng)與熱源之間可能的相互作用，那么應有下列關系：

E₍₀₎=E＋E_r；E＜＜E₍₀₎          [3-3-24]

       現(xiàn)以Ω_r（E₍₀₎-E_s）表示當系統(tǒng)處于能量為E_s的狀態(tài)S，熱源能量為E₍₀₎-E_s時熱源的微觀狀態(tài)數(shù)。這時復合系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)為：1×Ω_r（E₍₀₎-E_s）=Ω_r（E₍₀₎-E_s）。
       另一方面，由于所討論的復合系統(tǒng)是個孤立系統(tǒng)，因此，由前文討論可知，當它處于任何可能狀態(tài)的幾率為ρ=1/[Ω₍₀₎(E)]，式中Ω₍₀₎(E)為復合系統(tǒng)的總微觀態(tài)數(shù)，故而系統(tǒng)處于狀態(tài)S時的概率為：

       由于Ω_r（E₍₀₎-E_s）是個大數(shù)，且隨E的增加而迅速增加，故對㏑Ω_r（E₍₀₎-E_s）作泰勒展開，忽略展開式中二次以上的小量，得：

       式[3-3-26]中㏑Ω_r（E₍₀₎）項對系統(tǒng)來講是一個常數(shù)，所以可將式[3-3-26]改寫為：

ρs∝exp(-βE_s)

       或寫成等式

ρs=Cexp(-βE_s)          [3-3-27]

       式中C為比例系數(shù)，這一系數(shù)可在歸一化條件時消去，即：

       Z被稱為正則系綜系統(tǒng)的配分函數(shù)，式[3-3-29]中的求和是對具有粒子數(shù)N和體積V的系統(tǒng)的所有可能的量子態(tài)求和。由式[3-3-30]可見，系統(tǒng)平衡時處于量子態(tài)的概率只與系統(tǒng)的性質有關，而與系綜內(nèi)系統(tǒng)的總數(shù)無關。如果知道了系統(tǒng)的結構，也就是知道了系統(tǒng)的各個量子態(tài)，則可確定各個E_s，從而可求出配分函數(shù)Z，再由式[3-3-30]得到正則分布的概率密度ρs。
       為著簡便，定義Ψ=㏑Z，則式[3-3-27]改寫為：

ρs=exp(-Ψ-βE_s)          [3-3-31]

       上式被稱為正則分布。此式表明，系綜的分布，不僅受到能量的影響，還應受到溫度的影響。
       上述討論中系統(tǒng)處在微觀狀態(tài)S的概率只與此狀態(tài)的能量E_s有關。如果E_l（1，2，…，l）表示系統(tǒng)的各個能級，Ω_l表示能級E_l的簡并度，則系統(tǒng)處于E_l的概念為：

       配分函數(shù)相應表示為：

       上式中的求和是對具有粒子數(shù)N和體積V的系統(tǒng)的所有能級求和。還可將上式改寫為：

ρ_l=Ω_lexp(-Ψ-βE_l)          [3-3-34]

       正則分布的經(jīng)典表達式為：
       對于能量連續(xù)的經(jīng)典情形，正則分布的分布函數(shù)和配分函數(shù)的形式變化如下：設dω代表系統(tǒng)的相體積元，f為其中每個粒子的自由度，N為系統(tǒng)內(nèi)的粒子數(shù)。對于可分辨的粒子系統(tǒng)，處于相體積元dω中的概率為：