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       現(xiàn)假設(shè)反應(yīng)器中不含有固體催化劑或任何種類的填料。在圖6中，設(shè)P和Q表示兩個(gè)平面，其間體積為反應(yīng)器總體積Vr中的一無限小部分即dVr。令G為通過該二個(gè)平面的質(zhì)量流量，y和y＋dy分別表示在平面P和Q處每單位質(zhì)量的流體中已知產(chǎn)物的克分子數(shù)。選擇這種濃度單位是因?yàn)橘|(zhì)量流量和體積流量或總衡分子流量不同，質(zhì)量流量與反應(yīng)器中所示P及Q的位置無關(guān)（這里假設(shè)反應(yīng)器處于定常狀態(tài)）。根據(jù)活塞流假定，在整個(gè)截面上濃度是均勻的，反應(yīng)速率和質(zhì)量流量也是如此。最后令r為以單位時(shí)間、單位體積生成產(chǎn)物克分子數(shù)表示的反應(yīng)速率。運(yùn)用物料衡算方程式，對選定的產(chǎn)物作物料衡算：

       進(jìn)料的分子數(shù)＝出料的分子數(shù)＋反應(yīng)掉的分子數(shù)＋微元中分子數(shù)的變化

Gy=G(y+dy)-rdVr+0            (3.1)

       因?yàn)槭?span style="text-align: center;">(3.1)是對產(chǎn)物的物料衡算，所以反應(yīng)項(xiàng)是-rdVr；又假設(shè)過程達(dá)到定常狀態(tài)，所以最后一項(xiàng)為零。

       根據(jù)進(jìn)口和出口條件對式(3.1)積分得：

       通常y的進(jìn)口值yi為零，但是如果有一個(gè)循環(huán)系統(tǒng)，在反應(yīng)器進(jìn)料中也許含有一些產(chǎn)物，于是yi就不等于零。

       對含有固體催化劑顆粒的反應(yīng)器，亦可以容易地導(dǎo)出相似的方程式。令r'表示單位質(zhì)量催化劑的反應(yīng)速率，Wr為出口濃度達(dá)到y(tǒng)e值時(shí)所需總催化劑的質(zhì)量。則類似于式(3.2)可有：

       上述公式的有效性必然受到活塞流假定適用性的限制。在某些情況下，可以十分可靠地運(yùn)用這個(gè)假設(shè)；而在另外一些情況下，正如即將指出的，它可能導(dǎo)致很大的誤差。但不管怎樣，這些方程式對討論管式反應(yīng)器的性能，仍然是一個(gè)很有價(jià)值的起點(diǎn)。

       為了使上述方程式應(yīng)用于實(shí)際，必須知道反應(yīng)速率r或r'和變量y之間的關(guān)系。例如考慮反應(yīng)物A和B間的均相氣相反應(yīng)，假設(shè)該反應(yīng)實(shí)際上為不可逆的，且反應(yīng)速率對A是α級，對B是β級。那么：

r＝k[A](α)[B](β)             (3.4)

將其代入式(3.2)，并假設(shè)進(jìn)料流中沒有產(chǎn)物，則

       在這個(gè)方程式中，體積濃度[A]和[B]能很容易地以變量y關(guān)聯(lián)，將在后面用例子加以表明。至此在進(jìn)行積分前留下的問題僅與速度常數(shù)k有關(guān)。k值隨溫度的變化很敏感，因之只有在兩個(gè)極端情況下可相當(dāng)簡單地用式(3.5)（或相應(yīng)于從式(3.3)得到的填充反應(yīng)器的方程式）來計(jì)算。這兩個(gè)極端情況是：

       （a）沿反應(yīng)器長度上溫度保持恒定的情況（如同活塞流的假定要求在整個(gè)截面上溫度恒定一樣）。這時(shí)，可以把速度常數(shù)移到積分符號外邊，因而可以進(jìn)行積分——或者在適當(dāng)情況下作解析解，或者在其它情況下作數(shù)值積分或圖解積分。顯然，最適宜于作等溫條件處理的，是反應(yīng)熱小到可以忽略不計(jì)的情況。另一方面，如果反應(yīng)器壁保持等溫（例如采用夾套），并且，反應(yīng)器的直徑足夠小或反應(yīng)流體具有足夠強(qiáng)烈的湍動(dòng)，足以保證反應(yīng)熱能極有效地從流體主體傳遞到器壁，仍然可獲得近似等溫的條件。

       （b）反應(yīng)在絕熱條件下進(jìn)行的情況。反應(yīng)器壁能很有效地絕熱，以致在垂直于流動(dòng)方向上的熱損失可以忽略。在這種情況下，相應(yīng)于放熱反應(yīng)或吸熱反應(yīng)，沿反應(yīng)器長度的溫度將分別是上升或下降。這種溫度變化，從反應(yīng)熱的知識可很容易地計(jì)算出來。為此，由反應(yīng)器進(jìn)口截面和給定截面間的溫度變化和變量y值相關(guān)聯(lián)，以建立能量衡算式，而y值表示在該給定截面上反應(yīng)程度的量度。假定在流體流動(dòng)方向上的導(dǎo)熱可以忽略，因此，反應(yīng)速度常數(shù)（假定已知其為溫度的函數(shù)）變?yōu)閥的函數(shù)，于是上述方程式所需的積分就可以通過數(shù)值法或圖解法求解。